В каждой шутке есть доля шутки.

Сказка ложь, да в ней намек,
добрым молодцам урок.

А.С. Пушкин

Задача

На занятии по теории вероятностей разбираю со студентами стандартную задачку о вероятностях двух независимых событий. Как пример – работа двух устройств. Составили таблицу:

Ситуация Обозначение Вероятности
Состояние 1-й 2-й 1-й 2-й Вместе
A Оба работают + + p1 p2 PA=p1×p2
B Работает только 1-й + p1 q2 PB=p1×q2
C Работает только 2-й + q1 p2 PC=q1×p2
D Оба не работают q1 q2 PD=q1×q2

Все как обычно: q=1–p, произведения вероятностей, общая надежность, … В общем, рутина. В голове попутно крутятся всяческие другие примеры. И тут вспоминаю пословицу – ум хорошо, а два лучше! Начинаю раскручивать аудиторию.

Чем измерить ум?

Если «устройство работает», то можно сказать, что из двух его состояний выбрано одно – рабочее. Можно полагать, что работающее устройство выбрало «правильный вариант». Вероятность успеха обозначим как р. Это число можно выбрать мерой ума. Т.е., в нашей модели

ум измеряется вероятностью выбрать правильный вариант из двух предложенных

Вполне разумно полагать, что при p>½ мы имеем дело с «умным» (сравнительно) человеком – ведь он чаще дает правильный ответ. Соответственно, при р<½ приходится говорить о «глупом». Можно много времени потратить на уточнение границ, ввести диапазон для «среднего» ума и т.п. Ограничимся пока такой дихотомией.

Естественный вопрос – а если взять два ума? Ведь говорят же: ум хорошо, а два лучше. Что имеется в виду при этом? После непродолжительных манипуляций подталкиваю аудиторию к нужному мне выводу – пословица утверждает, что вероятность выбора правильного варианта при двух умах выше. Проверим.

Два лучше?

Тут же видим (ситуация № 1 в таблице), что при любых р1 и р2 их произведение меньше любого из сомножителей. Аудитория в шоке, я в кайфе. Наконец кто-то неуверенно говорит – а надо учитывать ещё и ситуации В и С, где один все-таки выбирает правильный вариант.

Студента хвалю, но тут же резонный вопрос – а как узнать, какой из ответов правильный? Мы ж для того и устраиваем «консилиум на двоих», чтобы повысить шансы на правильный вариант-ответ. Ожидаемый ступор в аудитории.

Приходим к выводу, что единственным доступным критерием правильности в данном случае является только согласие обоих «умов» – ведь правильного ответа мы не знаем. Ищем вероятность того, что оба дают одинаковый ответ:

Рсогл=PA+PD=p1×p2+q1×q2=1+2×p1×p2–p1–p2

Мое радостное замечание, что это простой гиперболический параболоид, аудитория встретила неодобрительным молчанием. Тут, к счастью для меня, занятие закончилось.

Рис. 1. Поверхность «согласия» для двух умов

По дороге домой я наскоро покрутил в голове эту поверхность и подумал, что (из-за её симметричности) у такой би-системы шансы быть согласными и несогласными должны быть равны – 50 на 50. После построения поверхности Рсогл1, р2) это стало очевидным. Желтый крест на уровне Рсогл=½ как раз и делит поверхность на симметричные части – красную область несогласия и зеленую согласия. Представил себе «молчание ягнят» в аудитории – и понял, что показывать такую картинку студентам жестоко.

Отмечу, что в этой модели проблема согласия для одного ума не стоит – какой бы ответ ни был бы выбран, уж он-то сам с собой всегда согласован.

Случай «равновеликих» умов

Для упрощения задачи предположим, что наши умы «равновелики» – вероятности дать правильный ответ у них одинаковы и равны р. Тогда

Рсогл=f(p)=p2+(1–p)2=2×р2–2×р+1

Эта линия есть сечение поверхности согласия плоскостью р12 (края этой плоскости и сама линия обозначены синим цветом).

Рис. 2. Кривая согласия для двух умов.

Вот график этой функции согласия двух «равновеликих умов». Красная диагональная прямая – вероятность правильного ответа для одного ума. И с некоторым удивлением обнаруживаем, что для умного человека (у него ведь мы полагаем р>½) вероятность принять правильное решение одному выше, нежели когда мы ждем совпадения мнений двух, одинаково умных! Причем различие это достигает 1/8 при р=3/4 (красная стрелка). Т.е., человеку с умом «выше среднего» (для которого р=½) советоваться с другим, даже столь же умным, просто… вредно?

Почему же «ум хорошо, а два лучше»?

Но откуда же тогда возникла столь «неверная» поговорка? Вспомним робкое предложение студента – рассмотреть и те два события, в которых только один из умов дает правильный ответ. То есть, мы полагаем нашу парочку умов успешной, если хотя бы один из них выдаст правильный ответ! Или оба не ошибутся. Функция проста: f(p)=2×р–р2. И её график весьма симпатичен:

Рис. 3. Вероятность правильного ответа хотя бы одного из двух умов.

Он радует нашу душ, поскольку таки-да ум хорошо, а два лучше. Особенно при р=½, т.е., при тупом гадании. Тогда наши шансы увеличиваются в полтора раза – с ½ для одного до ¾ для парочки (синяя стрелка).

Да, но это хорошо, только если некто знает «правду» и может провести такой анализ ответов. Например, при «бригадном ответе» пары студентов на вопрос билета и весьма благожелательном отношении преподавателя.

А что в реальности, когда неизвестно, какой же ответ «правильный»? Ведь шансы, что ответы будут противоположными или будут совпадать – одинаковы. И что тогда, какой вариант выбирать? Каков критерий выбора решения для пары умов? Снова мы возвращаемся к единственному критерию, возможному тут – согласованность ответов. Можно ли понять происхождение нашей поговорки в свете такого критерия?

Синий график на рис. 2 дает ответ и на этот вопрос — вероятность согласия никогда не бывает меньше ½! Любопытно, что чаще соглашаются либо весьма умные партнеры (с р, близкими к 1), либо весьма глупые (с р, близкими к 0). При этом даже не нужно предположение об их «равноумии» – на поверхности (см. рис. 1) имеем то же самое.

Если предполагать, что ум (как вероятность правильного ответа) распределен для людей равномерно на интервале от 0 до 1, то легко показать, что в среднем согласие будет встречаться в 2 случаях из 3. Отмечу – это верхняя граница, поскольку очень умные и очень глупые все же встречаются куда реже средних умов.

Что ж, давно известно – советуясь, мы ищем не истину, а оправдания. И теория вероятностей нам это подтверждает: какими бы умными или глупыми мы ни были (лишь бы с «одинаковыми» умами, в нашей модели) – мы чаще будем соглашаться друг с другом, чем не соглашаться. Какое бы решение не было принято – правильное или нет. Для нас это уже неважно – ведь есть согласие! Так что люди из одной социальной группы, имеющие примерно одинаковые «умы», чаще и соглашаются друг с другом. А это приводит к сплочению группы. Получили обоснование конформизма? Такое сложное социопсихологическое явление – и всего лишь теория вероятностей!? Мда…

А если все же умы разные, например, из различных социальных групп? Ответ «лежит на поверхности» (см. первый рисунок) – шансы согласиться или не согласиться у них равны (предполагая равномерное и независимое распределение умов в каждой группе). А раз так – нет смысла с ними и разговаривать! Обоснование обособления социальных групп?…

А как насчет «сообразить втроем»?

Этот шаг совершенно естественен – группа все-таки хочет повысить вероятность правильного решения. Согласие согласием, но жрать-то надо. Упростим ситуацию и составим аналогичную таблицу, сразу предположив «равновеликость» всех трех умов:

Описание Вероятность Большинство
A Все трое правы PA=p3 3 (право)
B Ошибается только один PB=3×р2×q 2 (право)
C Прав только один PC=3×р×q2 2 (неправо)
D Все трое ошибаются PD=q3 3 (неправо)

Принцип большинства в тройке ничего не дает – всегда будет не более одного несогласного! Получается, что оценить правильность решения, принятого путем голосования на основе большинства, вообще нельзя? Действительно, при любом раскладе голосов правильное решение тут просто «назначается»!

Рис. 4. Вероятность согласия трех умов.

Ну, не все так уж плохо. Вероятность принятия правильного решения на основе правила большинства легко вычисляется: f(р)=р2×(3–2×р), график на рис. 4. Как видим, некоторая надежда есть: при р>½ тройка все-таки чаще принимает правильное решение. Правда, при р<½ столь же часто принимает и неверные. Так что решению тройки можно доверять только тогда, когда мы уверены в квалификации её членов в данной области. Иначе почти наверняка будет хуже.

А если правильный ответ неизвестен? Большинство тройки просто назначает его своим произволом, но под видом выбора. Каковы при этом шансы на полное согласие, при котором все трое должны выбрать одно и то же решение. Тогда Рсогл3+q3=3×р2–3×р+1 (см. график).

Увы, получаем неутешительные для тройки выводы:

  • наименьшее согласие снова достигается при р=½, но его вероятность уже равна ¼;
  • средняя величина вероятности согласия (при равномерном распределении ума) тоже уменьшается и равна ½;
  • начиная с р=1/3 один человек получает правильное решение чаще, чем согласие тройки;
  • наибольшее различие между ними (красная стрелка) уже равно 1/3 и достигается при меньшем значении р=2/3.

Похоже, правы те, кто утверждает – один всегда умнее группы себе подобных. Напрасно им кажется, что это чисто юмористически…

А вы, друзья, как ни садитесь…

Легко обобщить эти выводы и на большее число «членов совета». Итак, имеем совет из к равноумных членов, каждый из которых с вероятностью р дает правильный ответ. Критерий принятия решения – единогласно. Правильно или нет – дело десятое, правды все равно никто не знает. Вот график для «великолепной семерки».

Рис. 5. Кривая согласия для семи умов.

Картина маслом:

  • Минимум (синий кружок) равен 1/(2(к–1)).
  • Среднее согласие равно 2/(к+1).
  • Один умнее семерки в целом, начиная с (красный квадратик) р≈0,2034 (численное решение).

Что характерно – полное согласие наиболее вероятно либо для очень глупых (малые р), либо для очень умных (большие р). Соответственно, левая и правая части графика. Ясно, что глупые сойдутся на неправильном решении, а умные – на правильном. Но уж очень узкий допуск для такого согласия. В значительной части диапазона умов-единомышленников (одна мысль на всех?) будут несогласные со всеми вытекающими последствиями. И как всегда, больше всего будут спорить «среднеумные» (р — в диапазоне от ¼ до ¾).

Напрашивается вывод: если группа людей все время спорит, то средний уровень ума у них весьма средний?

А как выглядит картина для вероятности правильного ответа при критерии большинства? Да ничего нового (см. рис. 6), только намечается дальнейшее «обострение» отмеченной зависимости – совет неумных (р<½) почти гарантировано примет неверное решение. А где ж их набрать столько, умных-то? Получаем известный закон перехода количества в отсутствие качества.

Рис. 6. Вероятность правильного ответа для семи умов.

Один против остальных

Любопытна ситуация, когда из всех «членов совета» один выступает с мнением, противоположным остальным. Разберем две такие ситуации:

А=прав только «одиночка» -> Р(А)=n×p×qn–1
B=неправ только «одиночка» -> Р(B)=n×pn–1×q

Нам нужна так называемая условная вероятность – вероятность некоторого события при условии, что некое другое событие уже произошло. Таким событием (условием) в нашем случае является тот факт, что из всех возможных ситуаций голосования мы отобрали те две, в которых имеется только один «несогласный». Т.е., наши ситуации А и В. Тогда вероятность того, что «одиночка» прав, а все остальные нет, вычисляется по формуле:

Рис. 7. Вероятность правоты одиночки для различного числа членов «совета стаи».

А вот и графики, для различного числа членов совета (см. рис. 7). Просто потрясающе – в «глупом совете», состоящем из умов с вероятностью принять правильное решение р, меньшим ½, несогласный почти наверняка прав! Вспоминается один фантастический рассказ, прочитанный в молодости. В нем как эксперта отбирали человека, который всегда ошибался, чтобы поступать наоборот. Подозреваю, что, поскольку в значительной части областей человеческой деятельности принимающие решения люди часто некомптетентны, то надо выслушать их мнение – и поступить наоборот.

И что дальше?

Да что угодно. И различные критерия согласия в совете (например, простое большинство при нечетном числе членов), и введение «распределения по уму», и взаимовлияние умов, и т.д., и т.п. Вариантов множество – твори, выдумывай, пробуй. Флаг в руки.

P.S.

А почему же все-таки дублируют (ставят параллельно) два устройства? А то и три?

Добавить комментарий

Заполните поля или щелкните по значку, чтобы оставить свой комментарий:

Логотип WordPress.com

Для комментария используется ваша учётная запись WordPress.com. Выход / Изменить )

Фотография Twitter

Для комментария используется ваша учётная запись Twitter. Выход / Изменить )

Фотография Facebook

Для комментария используется ваша учётная запись Facebook. Выход / Изменить )

Google+ photo

Для комментария используется ваша учётная запись Google+. Выход / Изменить )

Connecting to %s

%d такие блоггеры, как: